Nhị thức Newton - Toán 11
Công thức nhị thức Newton
(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C^k_na^{n-k}b^k=C^0_na^nb^0+C^1_na^{n-1}b^1
+\cdots +C^k_na^{n-k}b^k+\cdots+C^n_n b^n.
Vai trò của a và b là như nhau nên ta cũng có công thức tương đương
(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C^k_na^{k}b^{n-k}
=C^0_nb^n+C^1_na^{1}b^{n-1}+\cdots +C^k_na^{k}b^{n-k}+\cdots+C^n_n a^n.
Nhận xét.
- Số các số hạng là n + 1
- Tổng của các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n
- Số hạng thức k+1 trong khai triển là T_{k+1}=C_n^ka^{n-k}b^k
- Các hệ số cách đều hai số hạng đầu và cuối bằng nhau
Một số khai triển nhị thức Newton hay sử dụng
(1+x)^n=\sum_{k=0}^n C^k_n x^k
=C^0_n+C^1_n x+C^2_n x^2+\cdots+C^n_n x^n
(1-x)^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k C^k_n x^k
=C^0_n-C^1_n x+\cdots+(-1)^n C^n_n x^n
Nếu cho x=1 ở hai công thức trên thì ta thu được hệ quả sau
2^n=C^0_n+C^1_n+\cdots+C^{n-1}_n+C^n_n
0=C^0_n-C^1_n+\cdots+(-1)^k C^k_n+\cdots+(-1)^n C^n_n
Các ví dụ
Ví dụ 1. Trong khai triển {{\left( x+2 \right)}^{n+3}}\,\,\,\left( n\in \mathbb{N} \right) có tất cả 16 số hạng. Tìm n
Giải
Số các số hạng trong khai triển là (n+3)+1=16\Leftrightarrow n=12
Vậy n=12
Ví dụ 2. Tìm hệ số của x^{12}y^{13} trong khai triển (x+y)^{25}
Giải
Theo công thức nhị thức Newton thì hệ số của x^{12}y^{13} là C^{13}_{25}.
Ví dụ 3. Tìm hệ số của x^3 trong khai triển (3x-4)^5.
Giải
Ta có (3x-4)^5=(3x+(-4))^5. Theo công thức nhị thức Newton, số hạng chứa x^3 là C^2_5(2x)^3(-4)^2=4320x^3
Vậy hệ số của x^3 là 4320.
Ví dụ 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \displaystyle {{\left( {{x}^{2}}+\frac{2}{x} \right)}^{6}} \left( x\ne 0 \right)
Giải
Số hạng tổng quát (SHTQ): \displaystyle {{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}{{\left( {{x}^{2}} \right)}^{k}}{{\left( \frac{2}{x} \right)}^{6-k}}
\displaystyle \Rightarrow {{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}{{x}^{2k}}\frac{{{2}^{6-k}}}{{{x}^{6-k}}}
\displaystyle \Rightarrow {{T}_{k+1}}=C_{6}^{k}{{2}^{6-k}}{{x}^{2k-\left( 6-k \right)}}
Yêu cầu bài toán tương ứng với: 2k-\left( 6-k \right)=0\Leftrightarrow 3k-6=0\Leftrightarrow k=2
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: {{T}_{3}}=C_{6}^{2}{{2}^{6-2}}={{2}^{4}}C_{6}^{2}
Ví dụ 5. Tìm số tự nhiên n thỏa C^0_{2n}+C^2_{2n}+\cdots+C^{2n}_{2n}=2^{2023}.
Giải. Đặt A=C^0_{2n}+C^2_{2n}+\cdots+C^{2n}_{2n}.
Đặt B=C^1_{2n}+C^3_{2n}+\cdots+C^{2n-1}_{2n}.
Dễ thấy A+B=C^0_{2n}+C^1_{2n}+\cdots+C^{2n}_{2n}=(1+1)^{2n}=2^{2n}.
A-B=C^0_{2n}-C^1_{2n}+\cdots-C^{2n-1}_{2n}+C^{2n}_{2n}=(1-1)^{2n}=0.
Suy ra A=\frac{2^{2n}}{2}=2^{2023}\Leftrightarrow n=1012
Ví dụ 6. Tính tổng S=C^0_{2022}+C^1_{2022}+\cdots+C^{2022}_{2022}.
Giải. Áp dụng nhị thức Newton cho a=1,b=1
ta được (1+1)^{2022}=C^0_{2022}+C^1_{2022}+\cdots+C^{2022}_{2022}
Vậy S=2^{2022}
Ví dụ 7. Tìm hệ số của số hạng chứa {{x}^{16}} trong khai triển {{\left( 1+{{x}^{3}}\left( 2+x \right) \right)}^{10}}
Giải
{{\left( 1+{{x}^{3}}\left( 2+x \right) \right)}^{10}}={{\sum\limits_{p=0}^{10}{C_{10}^{p}{{1}^{10-p}}\left( {{x}^{3}}\left( 2+x \right) \right)}}^{p}}
=\sum\limits_{p=0}^{10}{C_{10}^{p}{{x}^{3p}}{{\left( 2+x \right)}^{p}}}=\sum\limits_{p=0}^{10}{C_{10}^{p}{{x}^{3p}}\sum\limits_{q=0}^{p}{C_{p}^{q}{{2}^{p-q}}{{x}^{q}}}}
=\sum\limits_{p=0}^{10}{\sum\limits_{q=0}^{p}{C_{10}^{p}C_{p}^{q}{{2}^{p-q}}{{x}^{3p}}{{x}^{q}}}}=\sum\limits_{p=0}^{10}{\sum\limits_{q=0}^{p}{C_{10}^{p}C_{p}^{q}{{2}^{p-q}}{{x}^{3p+q}}}}
YCBT\Leftrightarrow 3p+q=16 với 0\le q\le p\le 10
Suy ra \left( p;q \right)\in \left\{ \left( 5;1 \right);\left( 4;4 \right) \right\}
Suy ra hệ số cần tìm là: C_{10}^{5}C_{5}^{1}{{2}^{5-1}}+C_{10}^{4}C_{4}^{4}{{2}^{4-4}}=20370
Tham khảo thêm bài viết
- Tài liệu-Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp. Xác suất
- Hai quy tắc đếm cơ bản
- Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp. Xác suất
