Phương trình đường thẳng trong không gian Oxyz - Ôn thi tốt nghiệp
Bài toán 1. Xác định véc tơ chỉ phương
Định nghĩa. Véc tơ \vec u \ne \vec 0 được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của \vec u song song hoặc trùng với đường thẳng d.Nhận xét:
+ \vec u là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng d thì véc tơ k. \vec u cũng là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d.
+ Nếu có hai véc tơ \vec a và \vec b có giá vuông góc với đường thẳng d thì d có một véc tơ chỉ phương là \vec u = [\vec a, \vec b]
+ Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M({x_0};\,{y_0};\,{z_0}) và có véc tơ chỉ phương \vec u = ({a_1};{a_2};{a_3}) là
+ Dạng tham số:
\begin{cases}x= {x_0}+{a_1}t\\ y={y_0}+{a_2}t\\ z={z_0}+{a_3}t \end{cases}
Với t là tham số
+ Dạng chính tắc: {a_1}.{a_2}.{a_3} \ne 0
{\frac{{x - {x_0 }}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0 }}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_ 0}}}{{{a_3}}}}.
Bài toán 2. Viết phương trình đường thẳng
Dạng 1. Đường thẳng d đi qua điểm M và véc tơ chỉ phươngPhương pháp giải
Gọi điểm M({x_0};\,{y_0};\,{z_0}) và có véc tơ chỉ phương \vec u = ({a_1};{a_2};{a_3}) phương trình đường thẳng
+ Dạng tham số:
\begin{cases}x= {x_0}+{a_1}t\\ y={y_0}+{a_2}t\\ z={z_0}+{a_3}t \end{cases}
Với t là tham số
+ Dạng chính tắc: {a_1}.{a_2}.{a_3} \ne 0
{\frac{{x - {x_0 }}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_0 }}}{{{a_2}}} = \frac{{z - {z_ 0}}}{{{a_3}}}}.
Dạng 2. Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B
Phương pháp giải
+ Xác định tọa độ véc tơ \vec {AB}
+ Véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là \vec u = \vec {AB}
+ Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A (hoặc B) và có véc tơ \vec u là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
Dạng 3. Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với đường thẳng
d'
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng d' là \vec u.
+ Do d//d' nên d nhận véc tơ \vec u làm véc tơ chỉ phương
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ \vec u là véc tơ chỉ phương (Dạng 1)
Dạng 4. Đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \vec n
+ Do d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d nhận véc tơ \vec u = \vec n làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ \vec u là véc tơ chỉ phương (Dạng 1)
Dạng 5. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) cho trước
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng d' là \vec u.
+ Do d//d' nên d nhận véc tơ \vec u làm véc tơ chỉ phương
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ \vec u là véc tơ chỉ phương (Dạng 1)
Dạng 4. Đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P)
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \vec n
+ Do d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d nhận véc tơ \vec u = \vec n làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ \vec u là véc tơ chỉ phương (Dạng 1)
Dạng 5. Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) cho trước
Phương pháp giải
+ Chọn điểm M = (P) \cap (Q) ( chọn x = 0 (hoặc y = 0, hoặc z = 0) rồi giải hệ 2 phương trình 2 ẩn để tìm giá trị 2 ẩn còn lại để tìm tọa độ M)
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là \vec a, \vec b.
+ Đường thẳng d nhận \vec u = [\vec a, \vec b] làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ \vec u là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
+ Chọn điểm M = (P) \cap (Q) ( chọn x = 0 (hoặc y = 0, hoặc z = 0) rồi giải hệ 2 phương trình 2 ẩn để tìm giá trị 2 ẩn còn lại để tìm tọa độ M)
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là \vec a, \vec b.
+ Đường thẳng d nhận \vec u = [\vec a, \vec b] làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ \vec u là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
Dạng 6. Đường thẳng d đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng a và b
cho trước
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b là \vec a, \vec b.
+ Đường thẳng d nhận \vec u = [\vec a, \vec b] làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ \vec u là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
Dạng 7. Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) (hoặc nằm trong (P) và song song với (Q))
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là \vec a, \vec b.
+ Đường thẳng d nhận \vec u = [\vec a, \vec b] làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ \vec u là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
Dạng 8. Đường thẳng d đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d' và song song với mặt phẳng (P)
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng d' là \vec a và véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \vec b.
+ Đường thẳng d nhận \vec u = [\vec a, \vec b] làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ \vec u là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
Dạng 9. Đường thẳng d đi qua điểm M, vuông góc và cắt đường thẳng d'
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b là \vec a, \vec b.
+ Đường thẳng d nhận \vec u = [\vec a, \vec b] làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ \vec u là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
Dạng 7. Đường thẳng d đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) (hoặc nằm trong (P) và song song với (Q))
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) là \vec a, \vec b.
+ Đường thẳng d nhận \vec u = [\vec a, \vec b] làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ \vec u là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
Dạng 8. Đường thẳng d đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng d' và song song với mặt phẳng (P)
Phương pháp giải
+ Xác định véc tơ chỉ phương của đường thẳng d' là \vec a và véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \vec b.
+ Đường thẳng d nhận \vec u = [\vec a, \vec b] làm véc tơ chỉ phương.
+ Đường thẳng d đi qua điểm M và có véc tơ \vec u là véc tơ chỉ phương (Dạng 1).
Dạng 9. Đường thẳng d đi qua điểm M, vuông góc và cắt đường thẳng d'
Phương pháp giải
+ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với d' ( (P) đi qua M và nhận véc tơ chỉ phương của d' làm véc tơ pháp tuyến)
+ Xác định điểm B = d' \cap (P)
+ Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với d' ( (P) đi qua M và nhận véc tơ chỉ phương của d' làm véc tơ pháp tuyến)
+ Xác định điểm B = d' \cap (P)
+ Đường thẳng d cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B (Dạng 2)
Dạng 10. Đường thẳng d đi qua điểm M và cắt đường thẳng {d_1} và vuông góc với đường thẳng {d_2} cho trước
Phương pháp giải
+ Gọi H = {d_1} \cap d, do H \in {d_1} nên H ({x_1} + {a_1}t; {x_2} + {a_2}t; {x_3} + {a_3}t)
Dạng 10. Đường thẳng d đi qua điểm M và cắt đường thẳng {d_1} và vuông góc với đường thẳng {d_2} cho trước
Phương pháp giải
+ Gọi H = {d_1} \cap d, do H \in {d_1} nên H ({x_1} + {a_1}t; {x_2} + {a_2}t; {x_3} + {a_3}t)
+ Vì MH vuông góc với {d_2} nên \vec {MH}. \vec{u_2} = 0. Ta được phương trình bậc nhất ẩn t. Giải phương trình tìm được t suy ra tọa độ điểm H.
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm M và H (dạng 2).
Dạng 11. Đường thẳng d đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng a và b.
Phương pháp giải
Cách 1.
+ Gọi điểm A \in a và B \in b. Suy ra A ({x_1} + {a_1}t; {x_2} + {a_2}t; {x_3} + {a_3}t), B ({x'_1} + {b_1}t'; {x'_2} + {b_2}t'; {x'_3} + {b_3}t').
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm M và H (dạng 2).
Dạng 11. Đường thẳng d đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng a và b.
Phương pháp giải
Cách 1.
+ Gọi điểm A \in a và B \in b. Suy ra A ({x_1} + {a_1}t; {x_2} + {a_2}t; {x_3} + {a_3}t), B ({x'_1} + {b_1}t'; {x'_2} + {b_2}t'; {x'_3} + {b_3}t').
+ Do A, B, M thẳng hàng: \vec {AB} = k \vec {AM} suy ra tọa độ A, B.
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B (dạng 2).
Cách 2.
+ Gọi (P) = (M,{d_1}) và (Q) = (M,{d_2}).
+ Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) (Dạng 5)
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A, B (dạng 2).
Cách 2.
+ Gọi (P) = (M,{d_1}) và (Q) = (M,{d_2}).
+ Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) (Dạng 5)
Dạng 12. Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng a và b.
Phương pháp giải
+ Tìm giao điểm A = a \cap (P) và B = b \cap (P).
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B (Dạng 2).
Dạng 13. Đường thằng d song song với đường thẳng \Delta và cắt cả hai đường thẳng a, b.
Phương pháp giải
+ Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa \Delta , a và mặt phẳng (Q) chứa \Delta , b.
+ Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) (Dạng 5)
Dạng 14. Đường thẳng d là đường vuông góc chung {d_1},{d_2} chéo nhau
Phương pháp giải
+ Gọi M \in {d_1}, N \in {d_2}. Suy ra tọa độ véc tơ \vec {MN}.
+ Xác định các véc tơ chỉ phương của {d_1}, {d_2} là \vec a và \vec b.
+ Do MN là đường vuông góc chung nên \vec{MN}. \vec a = 0 và \vec{MN}. \vec b = 0. Ta được hệ 2 phương trình 2 ẩn. Giải hệ ta được tọa độ MN
+ Đường vuông góc chung đi qua 2 điểm M và N (dạng 2)
Dạng 15. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \Delta trên mặt phẳng (P)
+ Tìm giao điểm A = a \cap (P) và B = b \cap (P).
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B (Dạng 2).
Dạng 13. Đường thằng d song song với đường thẳng \Delta và cắt cả hai đường thẳng a, b.
Phương pháp giải
+ Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa \Delta , a và mặt phẳng (Q) chứa \Delta , b.
+ Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) (Dạng 5)
Dạng 14. Đường thẳng d là đường vuông góc chung {d_1},{d_2} chéo nhau
Phương pháp giải
+ Gọi M \in {d_1}, N \in {d_2}. Suy ra tọa độ véc tơ \vec {MN}.
+ Xác định các véc tơ chỉ phương của {d_1}, {d_2} là \vec a và \vec b.
+ Do MN là đường vuông góc chung nên \vec{MN}. \vec a = 0 và \vec{MN}. \vec b = 0. Ta được hệ 2 phương trình 2 ẩn. Giải hệ ta được tọa độ MN
+ Đường vuông góc chung đi qua 2 điểm M và N (dạng 2)
Dạng 15. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \Delta trên mặt phẳng (P)
Phương pháp giải
Trường hợp 1. \Delta // (P)
+ Lấy điểm M trên \Delta
+ Tìm hình chiếu H của điểm M trên (P)
+ Đường thẳng d đi qua điểm H và nhận véc tơ chỉ phương của \Delta là véc tơ chỉ phương (Dạng 1)
Trường hợp 2. \Delta cắt (P) tại điểm I.
+ Chọn điểm M \ne I
+ Tìm hình chiếu H của M trên (P)
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm I và H (Dạng 2)
Trường hợp 1. \Delta // (P)
+ Lấy điểm M trên \Delta
+ Tìm hình chiếu H của điểm M trên (P)
+ Đường thẳng d đi qua điểm H và nhận véc tơ chỉ phương của \Delta là véc tơ chỉ phương (Dạng 1)
Trường hợp 2. \Delta cắt (P) tại điểm I.
+ Chọn điểm M \ne I
+ Tìm hình chiếu H của M trên (P)
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm I và H (Dạng 2)
Phương pháp giải
Trường hợp 1. \Delta // (P)
+ Lấy điểm M trên \Delta
+ Tìm hình chiếu H của điểm M trên (P); Tìm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (P)
+ Đường thẳng d đi qua điểm M' và nhận véc tơ chỉ phương của \Delta là véc tơ chỉ phương (Dạng 1)
Trường hợp 2. \Delta cắt (P) tại điểm I.
+ Chọn điểm M \ne I
+ Tìm hình chiếu H của M trên (P); Tìm điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (P)
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm I và M' (Dạng 2)
Trường hợp 1. \Delta // (P)
+ Lấy điểm M trên \Delta
+ Tìm hình chiếu H của điểm M trên (P); Tìm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (P)
+ Đường thẳng d đi qua điểm M' và nhận véc tơ chỉ phương của \Delta là véc tơ chỉ phương (Dạng 1)
Trường hợp 2. \Delta cắt (P) tại điểm I.
+ Chọn điểm M \ne I
+ Tìm hình chiếu H của M trên (P); Tìm điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (P)
+ Đường thẳng d đi qua hai điểm I và M' (Dạng 2)
Bài toán 3. Các bài toán liên quan đến khoảng cách
Dang 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.Phương pháp giải
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d đi qua điểm {M_0} và có véc tơ chỉ phương \vec u được tính bằng công thức sau:
d(M,d) = \frac{{|[\overrightarrow {{M_0}M} ,\vec u]|}}{{|\vec u|}}
Dạng 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d và d'
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d đi qua điểm {M_0} và có véc tơ chỉ phương \vec u được tính bằng công thức sau:
d(M,d) = \frac{{|[\overrightarrow {{M_0}M} ,\vec u]|}}{{|\vec u|}}
Dạng 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d và d'
Phương pháp giải
+ Chọn một điểm M bất kì trên d.
+ Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng d (Dạng 1)
Dạng 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d'
+ Chọn một điểm M bất kì trên d.
+ Tính khoảng cách từ M đến đường thẳng d (Dạng 1)
Dạng 3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d và d'
Phương pháp giải
Giả sử d đi qua M có véc tơ chỉ phương \vec u; d' đi qua M' có véc tơ chỉ phương \vec u'.
Giả sử d đi qua M có véc tơ chỉ phương \vec u; d' đi qua M' có véc tơ chỉ phương \vec u'.
Khoảng cách giữa d và d' tính theo công thức sau:
d(d,d') = \frac{{|[\vec u,\vec u'].\overrightarrow {{M_0}M} |}}{{|[\vec u,\vec u']|}}
d(d,d') = \frac{{|[\vec u,\vec u'].\overrightarrow {{M_0}M} |}}{{|[\vec u,\vec u']|}}
Tags: #Toán 12,