Phương trình mặt cầu

Mặt cầu tâm I (a; b; c) và có bán kính R có phương trình

+ Dạng 1.

$\boxed{(S): {(x - a)^2} + {(y - b)^2} + {(z - c)^2} = {R^2}}$

Phương trình

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ với

${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$

là phương trình của mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính

$R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$ .

Để một phương trình là một phương trình mặt cầu, cần thỏa mãn hai điều kiện:

Hệ số trước

${x^2},{\rm{ }}{y^2},{\rm{ }}{z^2}$ phải bằng nhau và

${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$

Bài toán. Viết phương trình mặt cầu

Dạng 1. Mặt cầu tâm I (a; b; c) và có bán kính R

${{{(x - a)}^2} + {{(y - b)}^2} + {{(z - c)}^2} = {R^2}}$

Dạng 2. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) và đi qua điểm

$A\left( {{x_A};\,{y_A};\,{z_A}} \right)$

Phương pháp giải

+ Tâm của mặt cầu I (a; b; c).

+ Bán kính mặt cầu:

$R = IA = \sqrt {{{\left( {{x_A} - a} \right)}^2} + {{\left( {{y_A} - b} \right)}^2} + {{\left( {{z_A} - c} \right)}^2}}$

Dạng 3. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với

$A\left( {{x_A};{\mkern 1mu} {y_A};{\mkern 1mu} {z_A}} \right)$ ,

$B\left( {{x_B};{\mkern 1mu} {y_B};{\mkern 1mu} {z_B}} \right)$ cho trước.

Phương pháp giải:

+ Tâm mặt cầu là trung điểm của đoạn AB:

$I\left( {\frac{{{x_A} + {x_B}}}{2};{\mkern 1mu} \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2};{\mkern 1mu} \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}} \right)$ .

+ Bán kính mặt cầu:

$R = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$